دروس: الإحداثيات القطبية وتطبيقاتها في علم الرسم بالحاسب .

#12 سبتمبر 2007 في 21:32 صاحب الموضوع

السلام عليكم :

لتحميل أمثلة هذا الموضوع :*

Polar_Coordinates_Ex.zip

جميع الأمثلة مكتوبة بلغة :

1- Cpp ( السي بلس ) + Win32 API

2- ( السي بلس ) Cpp + OpenGL

3- الجافا - Java

ومرفق أيضا الملفات التنفيذية .

---------------------------

الهدف من هذا الموضوع هو إلقاء نظرة على الاحداثيات القطبية , التي تتميز بانتاج كم وافر من الاشكال الدائرية ( بأقل جهد ممكن ) .

والذي قام برسم دائرة بالاعتماد فقط على الاحداثيات الديكارتية سيجد الصعوبة الكبيرة التي واجهته .

لست متأكدا من أن الاحداثيات القطبية مستخدمة في برمجة الجرافكس , ولكن ما استطيع أن أؤكده هو أن لها فائدة كبيرة في انتاج أشكال معقدة لم نكن قادرين على انتاجها بسهولة في الاحداثيات الديكارتية .

سأفرض أن قارئ الموضوع له خلفية عن الاحداثيات القطبية .. واذا لم تكن كذلك , فلا تقلق ,, فبالغالب ما نحتاجه هنا سأشرحه ان شاء الله .

وسنقوم معا بإنعاش ذاكرتنا لفهم بعض القوانين البسيطة .

أيضا يتوجب عليك أن تكون على اطلاع واسع بالدوال المثلثية ( الجا والجتا ) .

قد كتبت موضوع قبل مدة عن الدوال المثلثية .

الدوال المثلثية .. وتطبيقاتها في برمجة الألعاب والجرافكس.

الموضوع تطبيقي لابد من وضع التطبيقات ..

ملاحظة هامة :

- نظام الاحداثيات في الويندوز ( Win32 API ) .. والجافا .. يختلف عن الشائع وعما درسناه .

فالاحداثي الصادي يتزايد كلما اتجهنا من أعلى إلى أسفل النافذة .

بعكس الواقع وهو ان المحور الصادي يتناقص كلما اتجهنا من اعلى الى اسفل .

لذلك ستجد بعض الاشكال التي سنرسمها مقلوبة .. وقد تعمدت ترك ذلك حتى لا نغير من شكل القوانين .. بأن نضربها بسالب واحد ,

ولكن في OpenGL .. استطيع التحكم بالاحداثيات .. لذلك ستجد الرسم غير مقلوب .

فهرس الموضوع :

• مقدمة سأشرح فيها باقتضاب أهم الجوانب في الإحداثيات القطبية .. فقط لعمل إنعاش للذاكرة .

• التطبيق الأول : الدوائر في الإحداثيات القطبية .

• التطبيق الثاني : المنحنيات القلبية .

• التطبيق الثالث : المنحنيات الصدفية الدائرية .

• التطبيق الرابع : ذوات العروتين .( العروة)

• التطبيق الخامس المنحنيات الوردية ( الوردة) .

• التطبيق السادس: حلزون أرخميدس .

الكتاب الذي اعتمدته كمرجع , هو كتاب قد درسته في المستوى السابق ,

وهو : مبادئ التفاضل والتكامل – الجزء الثاني – الفصل الأخير منه – ( من تأليف الدكتور صالح السنوسي وآخرون ) :) .

أنظمة الإحداثيات :

• لقد استخدمنا في دراستنا على مدى السنين الطوال الإحداثيات الديكارتية لتعيين النقاط في المستوي , واستفدنا من هذه الإحداثيات في علم الرسم بالحاسب , مكتبة GDI و GDI+ و OpenGL و Directx و Java2D الخ .. كلها تعتمد على الإحداثيات الديكارتية لتعيين النقاط على النافذة.

• للتذكير :

الإحداثيات الديكارتية هدفها الأساسي هو تحويل وتمثيل المسائل الجبرية إلى هندسية والعكس , وتحتاج لتعيين نقطة في المستوي إلى تمثيلها هكذا :

X , Y

لاحظ أن نقطة الأصل في منتصف النافذة , ولكن بعض الأنظمة مثل الGDI في الويندوز تفرض أن نقطة الأصل في الزاوية العلوية اليسرى .

بالتالي لتطبيق بعض النقاط .. تحتاج لعمل ازاحة .

• الإحداثيات القطبية :

الإحداثيات القطبية تتكون من :

- نقطة ثابتة تسمى القطب أو نقطة الأصل O .

- نصف مستقيم موجه من نقطة الأصل يسمى بالمحور القطبي ,

- لتعيين النقاط في المستوي نحتاج إلى زوج مرتب بهذه الصورة :

R , Theta

حيث R هي المسافة الموجة من نقطة الأصل إلى النقطة التي نحددها P

Theta هي الزاوية الموجهة من المحور القطبي إلى المستقيم O P.

بالنسبة لقياس الزاوية theta هو بالقياس الدائري .. لا اعلم هل هذا الزامي أو لا , لا أتوقع أن هذا إلزامي , لكن هو إلزامي عندما نريد تطبيق الدروس بلغات البرمجة .. التي تفرض أن الزاوية بالراديان .

• مثال :

عين هذه النقطة الممثلة بالاحداثيات القطبية :

( 3 , PI/4)

لاحظ أن الزاوية بالراديان .. ويقابلها بالستيني الزاوية 45

الحل :

• التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية :

يوجد أكثر من قانون .. سنأخذ أهمها :

X = r * Cos(theta)

Y = r * Sin(theta)

• مثال : جد الإحداثيات الديكارتية من النقطة ( 8, 9*PI/4 ) :

الحل :

X = 8 * Cos (9*PI/4) = 5.6

Y = 8 * Sin(9*PI/4) = 5.6

لذلك :

(x,y) = (5.6,5.6)

بهذا نكون قد انتهينا من الجزء النظري للموضوع .. الجلسة القادمة ستتناول الجاني التطيقي .

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة الشمري في 4 سبتمبر 2007 في 17:34

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#22 سبتمبر 2007 في 22:01

الدوائر في الإحداثيات القطبية :-

معادلة الدائرة القطبية المتمركزة عند نقطة الأصل .. ولها نصف القطر a .

r = a

حيث أن الزاوية theta تأخذ قيم متغيرة في الفترة 360 درجة ( يعني 2*PI ) .

مثال :

r = 10

الفكرة أننا في كل مرة نرسم نقطة عن النقطة

( 10 ,theta )

حيث theta تتغير من صفر الى 360 .

تحويل المعادلة القطبية الى ديكارتية ومن ثم تطبيقها في لغة البرمجة :

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

لاحظ :

		for( degree=0;degree<=360;degree++)
		{

				theta= degree*3.14/180; // تحويل إلى راديان

				// المعادلة القطبية
				r=a;

				// التحويل إلى معادلة ديكارتية
				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y);			
		}

- عوض عن a بأي قيمة .. مثلا 10 .. لتكون هي نصف القطر .

- اذا كنت تعمل على نظام احداثي فيه نقطة الأصل في الزاوية العلوية اليسرى .. فيتوجب أن تقوم بازاحة النقطة الى منتصف النافذة ..

فمثلا اذا أبعاد النافذة = 400 بيكسل * 400 بيكسل .. فاعمل ازاحة قدرها 200 بيسكل ..

				x = r* cos(theta) + 200;
				y = r* sin(theta) + 200;

انظر المثال Polar Coordinates 2 المرفق في أول الموضوع .

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة الشمري في 2 سبتمبر 2007 في 22:02

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#33 سبتمبر 2007 في 09:11

المنحنيات القلبية في الإحداثيات القطبية :

يوجد أربع معادلات :

 r = a* ( 1+ sin(theta) )
 r = a* ( 1 – sin(theta) )
 r = a* (1+ cos(theta) )
 r = a* (1- cos(theta) )

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

void draw(float a)
{
		for( degree=0;degree<=360;degree++)
		{
				theta= degree*3.14/180;

 // المعادلة القطبية					
				r=a * ( 1+ sin(theta) );

				/* 
					 جرب  أحد هذه المعادلات بدلا من المعادلة السابقة	
				 r = a* ( 1+ sin(theta) )
				 r = a* ( 1 – sin(theta) )
				 r = a* (1+ cos(theta) )
				 r = a* (1- cos(theta) )
				*/


				التحويل إلى معادلة ديكارتية	// 				
				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y);			
		}
}

وهذه صورة التطبيق للمعادلة الموجودة في الكود ...

انظر المثال Polar Coordinates 2 المرفق في أول الموضوع .

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#43 سبتمبر 2007 في 19:34

السلام عليكم ورحمة الله

أخى الفاضل

بارك الله فيك على مجهوداتك , ولكن لى تساؤل.

لماذا نقلت موضوعك من قسم الرياضيات والخوارزميات؟

بصراحة موضوعك اضافى جميلة للقسم واتمنى ترجعه تانى , او على الاقل تعمل لنا لنك فى منتدى الرياضيات والخوارزميات.

وبالله التوفيق,,,

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

مـــوقـــعـــى

#54 سبتمبر 2007 في 11:48

هلا أخوي ,,

كنت في الاصل كاتبه لقسم الرياضيات ..لكن بعد التفكير وجدت 80% تطبيق على الجرافكس .. لذلك قلت ممكن يكون في قسم الجرافكس أنسب ..

لا اخفيك اني نقلته اكثر من مرة .. بين قسم الرياضيات و وقسم برمجة الجرافكس.. لاني مش متأكد الموضوع الى أين ينتمي . .

لكن بما أنك قلت كلمتك .. و انه ممكن يكون ضمن مجال الرياضيات .. فهذا هو الموضوع موجود هنا .. وهذه للمرة الخامسة أنقله .. دائما ما اواجه صعوبة في اتخاذ القرار .. :D

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#64 سبتمبر 2007 في 17:27

المنحنيات الصدفية الدائرية في الإحداثيات القطبية :

المعادلات هي :

 r = a + b * sin (theta)
 r = a – b * sin(theta)
 r = a + b * cos(theta)
 r = a – b * cos(theta)

حيث a لايساوي b .. وكل منهما أكبر من صفر .

أشكال هذه المنحنيات .. تعتمد على النسبة ( a تقسيم b ) .

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

void draw(float a , float b)
{
		for( degree=0;degree<=360;degree++)
		{
				theta= degree*3.14/180;//

				// المعادلة القطبية				
				 r = a + b * sin (theta);

				/* 
				 جرب  أحد هذه المعادلات بدلا من المعادلة السابقة				
r = a + b * sin (theta)
 r = a – b * sin(theta)
 r = a + b * cos(theta)
 r = a – b * cos(theta)

				*/


				// التحويل إلى معادلة  ديكارتية
				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y);			
		}
}

النتيجة ستختلف بحسب قيم a و b .. راجع كتب الرياضيات التي تشرح الحالات المتوقعة للشكل بحسب قيم a و b .

( النسبة بين a و b )

نورد أهمها هنا :

يوجد نتائج اخرى للنسبة بين a , b انظر اليها في كتب الرياضيات المتخصصة .. أو بتجريب قيم عشوائية في المثال المرفق .

انظر المثال Polar Coordinates 3 المرفق في أول الموضوع .

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة الشمري في 4 سبتمبر 2007 في 17:31

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#76 سبتمبر 2007 في 16:25

ذوات العروتين .

المعادلة تحتوي على تربيع ... لذلك .. سأضع المعادلات بشكل صورة .

ولكن نحن نريد كتابة تلك المعادلة بنظيرتها في الاحداثيات الديكارتية .. ونعلم أن

X = r * cos(theta)

لذلك هناك عدة حلول لايجاد r .. منها ماهو سهل بالنسبة لنا ولكن متعب للمعالج ... والعكس صحيح ..

سنختار تحويل تلك المعادلة الى صورة بسيطة مع التضحية براحة المعالج .

سأحولها الى هذا الشكل :

ملاحظة هامة .. قمت بالابتعاد عن الاشارة السالبة تحت الجذر .. خوفا من الوقوع في المحظور ..

من يعرف طريقة مناسبة للتخلص من التربيع من ال r .. مع المحافظة على الاشارة السالبة فياليت يخبرنا .

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

		for( degree=0;degree<=360;degree++)
		{
				theta= degree*3.14/180;// تحويل الى راديان

				// المعادلة القطبية
				 r =sqrt(a * a * cos(2*theta) );

				/* 
				 جرب  أحد هذه المعادلات بدلا من المعادلة السابقة			
				 مع ملاحظة خطورة وجود السالب تحت الجذر ) لست متأكد من صحة المعادلة			
				 r =sqrt(a * a * cos(2*theta) );
				 r =sqrt(a * a * sin(2*theta) );
				 r =sqrt(-a * a * cos(2*theta) );
				 r =sqrt(-a * a * sin(2*theta) );
				*/


				// التحويل إلى معالدة ديكارتية

				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y,);			
		}

وهذه صورة التطبيق للمعادلة الموجودة في الكود ...

طبعا نحن نرسم بنقاط ... لو كنا نرسم بخطوط لصارت الرسمة أكثر وضوحا ... في OpenGL ,, استخدمت الخطوط .

جرب باقي المعادلات ..

انظر المثال Polar Coordinates 4 المرفق في أول الموضوع .

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة الشمري في 6 سبتمبر 2007 في 16:27

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#86 سبتمبر 2007 في 16:33

المنحنيات الوردية Roses .

المعادلات :

   r = a * sin(n * theta)
   r = a * cos(n * theta)

حيث n يتنمي لمجموعة الاعداد الطبيعية .

اذا كان n عدد فردي .. فإن عدد وريقات الوردة يساوي n .

أما اذا كان n عدد زوجي .. فإن عدد الوريقات هو 2n .

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

void draw(float a , int n)
{
		for( degree=0;degree<=360;degree++)
		{
				theta= degree*3.14/180;// تحويل الى راديان

				// المعادلة القطبية
				 r =a* sin(n*theta);

				/* 
				 جرب  أحد هذه المعادلات بدلا من المعادلة السابقة
				 r =a* sin(n*theta);
				 r =a* cos(n*theta);
				*/


				// التحويل إلى معادلة ديكارتية

				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y);			
		}
}

لاحظ النتيجة في كل حالة :

انظر المثال Polar Coordinates 5 المرفق في أول الموضوع .

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة الشمري في 6 سبتمبر 2007 في 16:36

تطبيق طمأنينة ، نسخة بيتا على أندرويد

عبدالله الشمّري - Al-Shammari

CodingAlone.com

twitter @abshammeri

abshammeri AT gmail.com

github : abshammeri

#96 سبتمبر 2007 في 16:48

حلزون أرخميدس Spiral Of Archimedes

المعادلة :

 r = a* theta

الزاوية theta كلما كان مداها أكبر كلما ظهر الشكل بشكل أفضل .. يعني 360 زاوية ... لاتظهر المنحنى بالشكل المطلوب , بالتالي من الافضل أن نجعل الفترة كبيرة .. مثلا 720

طبعا .. الزاوية ممكن تكون بالسالب أو الموجب .

دائما نتبع هذه الخطوات :

1- تحويل الزاوية من التقدير الستيني الى الدائري .

2- تحويل المعادلة من قطبية الى ديكارتية كما تعلمنا سابقا .

3- نرسم النقطة x,y .

4- نكون بتكرار الخطوات 1,2,3 .. 360 مرة أو أكثر .. وذلك لانتاج عدد كافي من الزوايا ( من صفر إلى 2*PI )

		for( degree=0;degree<=360*3;degree++) // 360*3 قيمة
		{
				theta= degree*3.14/180;// تحويل الى راديان

				// المعادلة القطبية
				 r = a*theta;


				// التحويل إلى معادلة ديكارتية
				x = r* cos(theta);
				y = r* sin(theta);

				DrawPoint(x,y);			
		}