Generating Functions

رائج

بدأه احمد غريب في 30 مارس 2006 · 74 رد · 12,674 مشاهدة · في الرياضيات والخوارزميات

#130 مارس 2006 في 22:15 صاحب الموضوع

السلام عليكم

اجمل مادة فى الرياضيات وبلا منازع هى بالتاكيد Genereting functions قد يتسائل البعض لماذا؟ لماذا تعتبر الgenerating Functions اجمل ماده فى الرياضيات..

الجواب بسيط لانها مادة سهلة تحل مسائل غاية فى التعقيد, مادة اسهل من ما يدرس فى الثانوية العامة, اسهل من حساب المثلثات والتفاضل والتكامل, قد لا اكون مبالغاً إذا قلت انها فى سهولة العمليات البدائية مثل الجمع والضرب الخ...

دعونا نبداء بمثال بسيط حتى اثبت ادعائي..

مثال:

لنفترض ان لدينا اربعة اطفال ولدينا 15 قلم ونريد ان نعطي كل طفل عدد من الاقلام ولكن لنضع بعض الشروط الاضافية لعملية التوزيع

قل مثلاً الطفل الاول يجب ان يحصل على الاقل على 3 اقلام والطفل الثاني يجب ان يحصل على الاقل على قلمين,

في حين الطفل الثالث لا يجب ان يحصل على اكثر من 3 اقلام والطفل الرابع لا يجب ان يحصل على اكثر من 4 اقلام.

السؤال الان بكم طريقة تستطيع ان توزع الاقلام حسب الشروط السابقة .

طبعاً الطريقة التى سيستخدمها الاغلبية هى وضع الاطفال والاقلام فى قوائم ثم يقوم بحساب العدد, طريقة بدائية ولن تنحج إذا كان عدد الاطفال والاقلام كبير.

الطريقة التالية هى إيجاد معادلة عن طريق إستخدام قواعد الـcombinatoric, ايضاً طريقة معقدة وإيجاد المعادلة قد يكون صعباً كلما زادت الشروط..

طريقة الgenerating function.

اولاً نقوم بتحويل المعادلة لمعادلة رياضية بإعطاء كل طفل رمز

$mimetex.cgi?%20c_1%5Cge%203$

$mimetex.cgi?%20c_2%5Cge%202$

$mimetex.cgi?%20c_3%5Cle%203$

$mimetex.cgi?%20c_4%5Cle%204$

لاحظ الان كيف سيتم إنشاء المعادلات

$mimetex.cgi?%20c_1=(x%5E3+x%5E4+%5Cldots$

$mimetex.cgi?%20c_2=(x%5E4+x%5E5+%5Cldots$

$mimetex.cgi?%20c_3=(x%5E0+x%5E1+x%5E2+x%$

$mimetex.cgi?%20c_4=(x%5E0+x%5E1+x%5E2+x%$

والان نقوم بعملية ضرب جميع الاقواس

$mimetex.cgi?%20c_1*c_2*c_3*c_4=(x%5E3+x%$

والان المرحلة النهائية وهى جمع المتغيرات x التى يكون عدد الاس فيها يساوي 15 على سبيل المثال

$mimetex.cgi?%20x%5E4*x%5E4*4%5E3*x%5E4$

اخذنا من اول طفل العدد x الذى يحتوى على اس 4 وكذلك من الطفل الثاني والرابع واخذنا الx الذى يحتوى على الاس 3 من الطفل الثالث.

السؤال الان بكم طريقة يمكننا ان نجمع الاسس لكي نحصل على x باس 15؟ كما تلاحظون العملية عملية جمع فقط, يعنى سهلنا الموضوع إلى ان اصبح عملية جمع.

وملاحظ ايضاً ان المعادلات سهلة جداً الحصول عليها, كل ما فعلناه هو تطبيق الشروط على الاسس, فى مثال الطفل الاول بدانا بx ذات الاس رقم ثلاثة لان الشرط المطروح هو ان يحصل هذا الطفل على الاقل على 3 اقلام.

وعلى نفس المنوال قمنا بتطبيق الشروط على بقية الاطفال, الطفل الرابع مثلاً يشترط ان لا يحصل على اكثر من 4 اقلام لذلك انهينا السلسلة بx ذات اس 4.

دعونا ناخذ مثال اخر بسيط حتى تترسخ الفكرة.

مثال:

كم حل يوجد لهذه المعادلة

$mimetex.cgi?c_1+c_2+_c3+_4+c_5=100$

نلاحظ ان عدد المتغيرات هو 5 إذاً من المثال السابق نستنتج اننا بحاجة إلى 5 سلاسل.

ايضاً نلاحظ من المثال السابق ان اعلى اس فى هذه الحالة لابد ان يكون 100 لذلك نقوم بوضع المعادلة كالتالي

$mimetex.cgi?f(x)=(1+x+x%5E2+%5Ccdots+x%5$

والان كل ما علينا ان نقوم به هو عملية جمع تحدد عدد الx التى تحتوى على اس 100 مثال على ذلك هو

$mimetex.cgi?1*1*1*x%5E%7B100%7D=x%5E%7B1$

يتبـــــع على راي اخونا عماد حمدي

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:26 — السبب: تصحيح ظهور LaTeX

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#230 مارس 2006 في 23:16

السلام عليكم مرة اخرى

إلى هنا الموضوع بسيط ولكن هناك مشكلة وهى انه مازال علينا ان نقوم بعملية حسابية, نعم هى عملية جمع ولكنها طويلة ومملة ونريد ان نحصل على طريقة اسهل وإلا ما الفائدة من الـGenerating Functions طالما سنوقوم بعملية حسابية طويلة؟

جميل دعونا اولاً قبل ان نحل هذه المشكلة نقوم بوضع بعض التعريفات الجديدة..

لاحظ معي هذا المعادلة

$mimetex.cgi?(1-x)(1+x+x%5E2+x%5E3+%5Ccdo$

إثبات هذه المعادلة بسيط جداً لاحظ معى ان اول عدد فى القوس الاول هو 1 وكذلك فى القوس الثاني, بإختصار هذا هو العدد الذى نحصل عليه فى النتيجة اما الباقى فالمفروض ان يكون ناتجه يساوى 0.

بملاحظة ما يحدث يتضح لنا انه إدا قمنا بعملية جمع بسيطة يصبح الناتج بالفعل 0 ولا يبقى سوى الـ1 الذى حصلنا عليه من ضرب اول رقمين فى المجموعتين.. مثلاً:

$mimetex.cgi?1*x+(-x*1)=0$

كذلك

$mimetex.cgi?1*x%5E2+(-x*x)=0$

وهكذا إلى ما لا نهاية

يمكننا الان كتابة هذه المعادلة على النحو التالى

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D=(1+x$

هذه المعادلة تسمي الـGenerating Function للسلسلة الاعداد

$mimetex.cgi?1,1,1,%5Cldots$

لماذا؟ لانه امام كل x بغض النظر عن الاس يوجد العدد 1 .. هل تذكر فى الدرس السابق كانت المشكلة هى ايجاد العدد المقابل للx ذات اس 15 ؟

نواصل المشوار...

دعنا نقوم بعمل تفاضل derivative للسلسلة السابقة ونضرب الناتج فى x

$mimetex.cgi?x(%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D)'=$

لاحظ الان ان السلسلة اصبحت Generating Function للاعداد

$mimetex.cgi?0,1,2,3,4,5,%5Ccdots$

ومرة اخرى نقوم بنفس العملية معى السلسلة الجديدة فنحصل على

$mimetex.cgi?x(%5Cfrac%7Bx%7D%7B(1-x)%5E2$

وهذه المرة حصلنا على الـGenerating Function للسلسلة الاعداد

$mimetex.cgi?0,1,4,9,16,25,%5Ccdots$

ماذا تلاحظ من هذه السلسلة ؟؟

لو استمرينا على نفس المنوال سنحصل على السلاسل التالية

$mimetex.cgi?0%5E3,1%5E3,2%5E3,3%5E3,4%5E$

$mimetex.cgi?0%5E4,1%5E4,2%5E4,3%5E4,4%5E$

هذه المجموعات من السلاسل معرفة جداً ويجب حفظ الطريقة وفهم المحتوى جيداً...

يتبـــــع

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:26

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#331 مارس 2006 في 00:52

السلام عليكم مرة ثالثة

نواصل مشوار الـGenerating Functions ::

هل هناك سلاسل اخرى غير التى تم ذكرها؟؟

بالتاكيد هناك عدد لا نهائي منها ولكن دعونا نفهم الفكرة الاساسية وعندها يمكننا إنشاء اي سلسلة على حسب الطلب..

دعونا نبداء من الخلف هذه المرة, لنفترض اننا نريد إنشاء السلسلة التالية

$mimetex.cgi?1,1,1,0,1,1,%5Cldots$

هل هذه السلسلة معقدة؟ بالتاكيد لا لاننا لدينا سلسلة شبيهه لها وهى السلسلة

$mimetex.cgi?1,1,1,1,%5Cldots$

هل تذكر المعادلة ؟ بالتاكيد تذكرها لانها فى اعلى الصفحة يمكنك مرجعتها إذا اردت وهى

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D=(1+x$

والان كل ما علينا فعلة هو التخلص من الـx التى تحتوى على الاس الغير مرغوب به وهو الx ذو الاس 3 وذلك بعمل المعادلة بالطريقة التقليدية على النحو التالى:

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D-x%5E$

على نفس النحو إذا اردنا الحصول على السلسلة التالية

$mimetex.cgi?1,1,1,2,1,1,%5Cldots$

كل ما علينا القيام به هو التالي

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D+x%5E$

ببعض التغيرات البسيطة يمكننا الحصول على سلاسل جديدة.

لنعد الان للمثال الذى ذكرناه فى اول مشاركة..

$mimetex.cgi?c_1+c_2+c_3+c_4+c_5=100$

المعادلة الاصلية هى على النحو التالى

$mimetex.cgi?f(x)=(1+x+x%5E2+%5Ccdots+x%5$

قانون الـBinomial يقول

$mimetex.cgi?(1+x)%5En=%7Bn%20%5Cchoose%2$

من هذا القانون يمكننا استنتاج التالي

$mimetex.cgi?(1+x+x%5E2+2x%5E3+x%5E4+%5Cl$

لماذا ؟ لان

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5En%7$

المشكلة الوحيدة التى توجهنا الان هى كيف تحول المعادلة التالية من الشق الاول إلى الشق الثاني

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7B%5Cinf$

وهذا يحتاج لمراجعة قانون الـBinomial

لاحظ معى عملية التحويل

$mimetex.cgi?%7Bn%20%5Cchoose%20i%7D=%5Cf$

لو طبقنا نفس القانون على

$mimetex.cgi?%7B-n%20%5Cchoose%20i%7D$

نحصل على النتيجة التالية

$mimetex.cgi?%7B-n%20%5Cchoose%20i%7D=%5C$

$mimetex.cgi?=%5Cfrac%7B(-1)%5Ei%5B(n+i-1$

وبذلك نكون قد اكملنا اثبات ان المعادلة صحيحة..

لاحظ اننا اختصرنا فى المعادلة الاخيرة العنصر

$mimetex.cgi?(n-1)!$

من البسط والمقام وبذلك حصلنا على النتيجة النهائية كما هو واضح. سنواصل إن شاء الله غداَ ونستعرض بعض الامثلة

يتبــــــــــــــــع

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:27

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#431 مارس 2006 في 03:38

انا فهمت الان شيئين ان هذه الدوال سميت يهذا الاسم لان تولد متسلسلات معينة

ثانيا نحن نعرف الى المستسلة الناتجة عن طريق النظر الى معاملات قوى العدد اكس

بناء على ماسبق فان

$mimetex.cgi?%20(1+x)%5En$

تعتبر داله مولده للBinomial coefficients لان كل معاملات اكس عبارة عن للBinomial

ثالثا نحن حولنا الـcombinatoric الى قواعد مفكوك ذو الحدين (Binomial ) لكن يا احمد انت عارف ان الاخير يحوي بطبيعة الحال على ال Binomial coefficients

في الحقيقة اعجبتني هذه الطريقة بدل التفكير في صياغة المعادلة حولها الى ضرب وضيع وقتك في الضرب بدل ان تقعد تفكر صياغة القانون ويا صح يا خطا

اكمل الموضوع يا بوحميد

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:27

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#531 مارس 2006 في 04:34

بعد البحث و مراحع المواضيع القديمة تبين ان

يمكن توزيع حل مساله مجموعة الاعداد الى ن كالتالي

$mimetex.cgi?%7B%20n-1%20%5Cchoose%20r-1%$

حيث ان ن هنا هي المجموع وتساوئ 100 في مثال الاخ احمد غريب بينما ر تساوي 5 في مثال الاخ احمد غريب

شكلك راح تحرق موضوع التباديل والتوافسق يا احمد غريب

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:27

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#631 مارس 2006 في 04:54

عفواً للمقاطعة

ولكن ما هي الـ Genereting functions ..

المثال واضح جداً .. وشكرا على جهودكم

بس أريد التعريف النظري للـ Genereting functions ..

هل من مفيدٍ لي ؟!؟!

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة بسام بساطة في 31 مارس 2006 في 04:55

#731 مارس 2006 في 23:29

السلام عليكم

جميل جداً هناك من يتابع الموضوع اولاً اجابة على الاخ بسام, فاواد الـGenerating Functions كثيرة جداً انتظر فقط إلى ان نصل للـExponential Generating Function لترى الفوائد الحقيقية لهذه المادة.

اما بالنسبة للGenerating Functions العادية افترض ان لديك معادلات وتريد ان تقوم بتفكيكها, انظر إلى الامثلة التى وضعتها فى المشاركات السابقة ستجد انها عملية طويلة ومملة وإحتمال الخطاء فى عملية التفكيك كبيرة جداً

لذلك تستطيع إستخدام هذه الطريقة لإيجاد الـcofficent وتجنب نفسك اولاً عملية التفكيك اليدوية وفى نفس الوقت تقلل نسبة حدوث الخطاء..

ثانياً يمكنك حل مسائل معقدة بطريقة بسيطة وسريعة مثل المثال الذى تم طرحه فا المشاركة الاولى والثانية..

طيب والان نرد على الاخ كلاشنكوف:

إستنتاجاتك سليمه 100% ولكن حل المسئلة للاسف غير صحيح, طبعاً حاولت ان احول المعادلة

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7B%5Cinf$

إلى المعادلة

$mimetex.cgi?%7B%20n-1%20%5Cchoose%20r-1%$

بدون فائدة

المهم هو ان النتيجة تساوي 4598126

على كل حال لن نتوقف عند هذه النقطة انا لا اذكر قواعد االتحويل فى الbinomial إذا كان هناك شخص ضليع فيها ياريت يتحفنا.

سوف اتابع الموضوع إن شاء الله

والسلام عليكم

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:27

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#81 أبريل 2006 في 03:08

اريد ان اسالك يا اخ احمد غريب بكم طريقو يمكن تقسيم العدد 7 الى عددين مجموعهما 7 ؟

الجواب 6 طرق : (6,1) (5,2 ) ( 4,3 ) بالاضافة عكس كل واحد منهم اريد

بالتعويض في الصيغة التي ذكرتها لك

:P )

$mimetex.cgi?%7B%20(1+t)%5En%20%7D=%20%20$

هذه صيغة معروفة سنحصل على العديد من العبارات بواسطة هذه العبارة:

بوضع t=1 سنحصل على

$mimetex.cgi?%202%5En$

بوضع t=-1

سنحصل على العبارة التالية

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Bn%7D%2$

لو قمنا بتفاضل الطرفين في العبارة (1) ثو وضع t=1 فاننا سنحصل على التالي

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7D%2$

واضح اننا لو فاضلنا العبارة الاولى مرتين ثم وضعنا المتغير t=1 فسنحصل التالية

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=2%7D%5E%7Bn%7D%7$

واضح الان ان

$mimetex.cgi?%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Bn%7D%7$

لو كا ملنا العبارة الاصلية من صفر الى واحد

$mimetex.cgi?%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D~$

وهذا يعني ان

$mimetex.cgi?%20%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Bn%7$

ولو كا ملنا نفس العبارة من 1- الى صفر فسنحصل على العبارة

$mimetex.cgi?%20%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Bn%7$

الان سنقوم استنتاج عبارة شهيرة في عالم حساب التوافيق والتباديل

$mimetex.cgi?%20%5Csum_%7Br=0%7D%5E%7Bk%7$

الاثبات:

$mimetex.cgi?%20(1+t)%5E%7Bm%7D(1+t)%5E%7$

بمقارنة معاملات الحد

$mimetex.cgi?%20t%5E%7Bk%7D$

في الطرفين سنجد ان

$mimetex.cgi?%20%5Csum_%7Br=0%7D%5E%7Bk%7$

وهو المطلوب اثباته والان لنقل الى عبارة اخرى اكثر روعة

$mimetex.cgi?%20%5Csum_%7Bk=0%7D%5E%7Bn%7$

بوضع n=k=m في العبارة التي تم اثباتها سابقا فاننا سنصل الى هذه العبارة اكتفي بهذا القدر اليوم

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:28

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#91 أبريل 2006 في 03:35

تذكرت عبارة ايضا

$mimetex.cgi?%20%7B%20r%20%5Cchoose%20%20$

الاثبات:

$mimetex.cgi?%20%7B%20r%20%5Cchoose%20%20$

نختصر m! ثم نضرب البسط والمقام في !(r-k) ونعيد الترتيب المقام

$mimetex.cgi?=%20%5Cfrac%7Br!%7D%7Bk!(r-k$

وهذا ما هو الا

$mimetex.cgi?%7Br%20%5Cchoose%20k%7D%7Br-$

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:29

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#101 أبريل 2006 في 03:44

طيب رد سريع يا رمانوف بالنسبة للسؤال الاول ماذا عن (0,7) وعكسها ؟؟

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#111 أبريل 2006 في 04:11

في هذه الحالة انت لم تقم بتقسيم السبعة با ابو حميد

كما ان هذه نظرية يا ابو حميد ولو تنتظر قليلا ساتيك بالبرهان

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#121 أبريل 2006 في 23:55

السلام عليكم

القانون للمسئلة التى طرحتها يا كلاشنكوف هى

$mimetex.cgi?C(n+r-1,r)$

وهذا فى لغة الباينوميال يكتب

$mimetex.cgi?%7Bn+r-1%20%5Cchoose%20r%7D$

والناتج يصبح 8 لانه هناك 8 إحتمالات للحصول على الرقم 7 بإستخدام الارقام من 0 إلى 7 إذا سمحنا بالتكرار مثل ما هو الحال فى المسئلة, اما بالنسبة للقانون الذى ذكرته فانا فى الانتظار..

$mimetex.cgi?(0,7),(7,0),(1,6),(6,1),(2,5$

والسلام عليكم

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:29

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#132 أبريل 2006 في 03:51

السلام عليكم

عدنا مرة اخرى لإكمال الموضوع ..

الظاهر ان الفكرة العامة غير واضحة للبعض دعوني اوضح الفكرة

السلسلة

$mimetex.cgi?0*x%5E0+1*x%5E1+2*x%5E2+%5Cl$

نلاحظ ان اس المتغير x يعطينا موقع الرقم والعدد المضروب هو ما نسمية coefficient هذا هو العدد الذى نهتم به

على سبيل المثل لو نظرنا للمعادلة السابقة نجد انها تعطي السلسلة التالية

$mimetex.cgi?1,2,3,4,%5Cldots$

وتكتب بطريقة الGenerating Function هكذا

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bx%7D%7B(1-x)%5E2%7$

وقد وضحت فى مداخلة سابقة كيفية التوصل لهذه الصيغة..

ثم انتقلنا لطرح السؤال التالى : كم حل يوجد لهذه المعادلة

$mimetex.cgi?c_1+c_2+c_3+c_4+c_5=100$

والحل هو على النحو التالي

$mimetex.cgi?f(x)=(1+x+x%5E2+%5Ccdots+x%5$

والان نريد ان نكتب هذه المعادلة بطريقة الgenerating Function

لاحظ التالي

$mimetex.cgi?1=(1-x)(1+x+x%5E2+%5Cldots)$

إذاً

$mimetex.cgi?1-x%5E%7Bn+1%7D=(1-x)(1+x+x%$

كل ما قمنا بعملة هو عملية طرح من الجانبين لباقي السلسلة من n إلى مالا نهاية اليس كذلك؟

والان نقوم بعملية قسمة من الجانبين فنجد ان

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1-x%5E%7Bn+1%7D%7D$

إذا يمكننا ان نكتب المعادلة بطريقة اخرى وهى

$mimetex.cgi?(%5Cfrac%7B1-x%5E%7Bn+1%7D%7$

نختم هذه الفقرة بمثال صريح يحل مشكلة من ا إلى ي..

السؤال :

بكم طريقة تستطيع ام ان توزع 24 قطعة من الحلوى على ابنائها الاربعة بحيث يحصل كل طفل على الاقل على 3 قطع ولا يحصل اي طفل على اكثر من 8 قطع..

نقوم اولاً بتحديد المعادلة وهى على النحو التالي

$mimetex.cgi?x%5E3+x%5E4+x%5E5+x%5E6+x%5E$

طبعاً نبداء ب x مرفعة لاس ثلاثة لان كل طفل لابد ان يحصل على الاقل على 3 قطع من الحلوى, ونختمها ب x مرفوع لاس 8 لان كل طفل لا يجب ان يحصل على اكثر من 8 قطع حلوى..

نتابع

الان نكتب المعادلة كاملة للاطفال الاربعة

$mimetex.cgi?(x%5E3+x%5E4+x%5E5+x%5E6+x%5$

4 معادلات لان عدد الاطفال 4

نحن الان نبحث عن العدد coefficient الذى يوجد فى خانة الx المرفوعة للعدد 24

نكتب المعادلة بطريقة اخرى

$mimetex.cgi?x%5E%7B12%7D(1+x%5E1+x%5E1+x$

نكتب المعادلة بطريقة Generating Function فتصبح

$mimetex.cgi?x%5E%7B12%7D(%5Cfrac%7B1-x%5$

نتخلص من الx المرفوعة للعدد 12 وفى هذه الحاله نبحث عن الcoeffcient امام x المرفوعة للعدد 12 فى المعادلة

$mimetex.cgi?(%5Cfrac%7B1-x%5E6%7D%7B1-x%$

والحل الهنائي يصبح

$mimetex.cgi?(%5Cfrac%7B1-x%5E6%7D%7B1-x%$

$mimetex.cgi?=%5B1-%7B4%20%5Cchoose%201%7$

نضرب الاقواص فنحصل على

$mimetex.cgi?=%5B%7B-4%20%5Cchoose%2012%7$

$mimetex.cgi?=%5B%7B15%20%5Cchoose%2012%7$

إذاً تستطيع الام ان توزع 24 قطعة من الحلوى على اولادها الاربعة ب 125 طريقة بحيث يحصل كل طفل على الاقل على 3 قطع من الحلوى وعلى اقصى حد 8 قطع من الحلوى..

انتهت المشاركة ولنا عودة

يتبــــــــــــــــع

والسلام عليكم

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:29

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#142 أبريل 2006 في 03:52

اقتباس
بس أريد التعريف النظري للـ Genereting functions

هي عبارة عن دوال تعطيك متسلسلة اعداد ذات مواصفات معينة

طبعا خواص المتسلسلة معروفة مسبقا وبها يمكن استنتاج الدالة

لاحظ يا بو حميد ان

$mimetex.cgi?%20%7B%20n+r-1%20%5Cchoose%2$

عموما بعد البحث والتمحيص تبين ان كلا منا محق كل ما في الامر اننا معنا فهمنا الامر بشكل مختلف وبالتالي فان الاجابة مختلفة

انت ذكرت الحالة العامة وانا كانت اجاباتي حالة خاصة من الحالة العامة التي ذكرتها انت كما سيتبن

انا كنت احل المساله في حال عدم وجود اصفار

وبهذا تتحول المساله التي كنت احلها الى التالي :

بما اننا نمتلك عددا N ونريد تقسيمه r عدد بحيث لا يحتوي على اصفار اولا نقوم باخذ r من الواحدات ونوزعها في الr مكان

وهذا الامر يتم بطريقة واحدة

الباقي n-r سنقوم بتوزيعها في ال r مكانا (مع السماح بالتكرار لايهم المهم لم يعد هناك اماكن خاليه)

وسوف نستخدم العلاقة التي ذكرتها انت يا احمد غريب م

$mimetex.cgi?%7B%20(n-r)+r-1%20%5Cchoose%$

وهو المطلوب اثباته

بالمناسبة ابحث ايضا عن Diagram Ferrersa

بالمناسبة بهذا الموضوع انا حرقت موضوع combinatorial formulas اللي كنت كلمتك عنه

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:30

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#152 أبريل 2006 في 04:13

والسلام عليكم

نعم إذا قمت بوضع حالات خاصة يتغير الوضع يا كلاشنكوف ولكن إذا كنت تبحث عن جميع الاحتمالات فالطريقة هى التى ذكرتها من قبل.

بالنسبة للمعادلة الاولى التى طرحتها فهى قانون معروف, اما المعادلة الثانية فمعك حق الان بدات اتذكر, اكثر من عشر سنوات لم اتعامل معى الcombinatoric لذلك نسيت طريقة التعامل معى الbinomials ::

على كل حال الGenerating Function لا يحل جميع المسائل ولكنه قوى جداً فى حل بعض مسائل الcombinatorc

وسترى العجب العجاب عندما نصل للExponenital Genereting [Functions..

والسلام عليكم

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#162 أبريل 2006 في 04:24

انا متابعك يا بوحميد اول باول واصل الموضوع وانا الان بدات التقط الخيوط وانا ابحث في المواقع الروسية عن مثل هذه الاشياء وجهودك ليست عبثتا

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#172 أبريل 2006 في 04:36

السلام عليكم

طيب يا اخوة حتى ارى مدى التفاعل ساطرح سؤال له علاقة بالدرس القادم إن شاء الله, اريد منكم ان تحاولو حل هذا السؤال وإن شاء الله اطرح الحل بعد كتابة الدرس القادم غداً, إذا وجدت تفاعل استمرينا فى الدروس وإذا لم اجد تفاعل توقفت على الفور..

السؤال

لديك 48 كرة كل 12 كرة بلون مختلف احمر, ابيض,ازرق و اسود..

تريد ان تضع 12 كرة من هذه الكور فى صف واحد بكم طريقة تستطيع ان ترتبها؟؟ هذا السؤال يمكن حلة بدون الاستعانة بEGF

السؤال الاهم

بكم طريقة تستطيع ان تضع 12 كرة فى صف واحد بحيث لا تستخدم سوى عدد زوجى من الكور الزرقاء وعدد فردي من الكور السوداء..

اتمنى ان يكون السؤال واضح

اي استفسار يجب طرحة على وجه السرعة لاننى سوف اضع الدرس غداً مساً إن شاء الله تعالى..

والسلام عليكم

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#182 أبريل 2006 في 05:06

على وشك الانتهاء من الجزء الاول فقط اخبرني في المثال السابق (مثال الحلوى) بعد كلمة الحل النهائي رايتك عوضت عن اكس بسالب واحد هل من توضيح ؟

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#192 أبريل 2006 في 05:12

نعم عوضت بسالب لان x سالب فى هذا المكان وإذا كانت موجب قمت بوضعها كموجب

لاحظ ايضاً اننى اخترت الارقام التى تحتوى على x باس 12 يعنى عندما اخترت من القوس الثاني x باس 12 اخترت من القوس الاول 1 وهكذا..

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#202 أبريل 2006 في 05:14

أهمس في أذنك بس بيني و بينك يعني ... الموضوع شكله مهم و جميل بس أنا حقيقي مش فاهم !!!

مفيش كتب خارجية ... الاضواء مثلا :)

[islamonline]عياش حي لا تقل عياش مات ... أيموت نهر النيل او نبع الفرات

[/islamonline]

#212 أبريل 2006 في 05:33

طيب هات ودنك يا عياش وكلمة فى سرك, حاول تتعلم ال Power series وال binomials لان الموضوع كله له علاقة بيها, إذا مافهمتهاش يبقى برضو حاول تاني..

على فكرة انا مش عارف انتو مستصعبين الموضوع ليه, اكيد فى حلقة مفقودة..

السؤال الاول هل تعرف ما هو الbinomial ؟

السؤال الثاني هل تعرف الPower series

لو تعرف الاتنين دول يبقى خلاص مافيش مشاكل.

لكن إذا ما كنتش تعرفهم إقراء عنهم وتعالى إقراء الموضوع حتلاقى كل حاجة اخر حلاوة ..

والسلام عليكم

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#222 أبريل 2006 في 05:43

$mimetex.cgi?%20%7B%200%20%5Cleq%20%20c1%$

$mimetex.cgi?%20%7B%200%20%5Cleq%20%20c2%$

$mimetex.cgi?%20%7B%200%20%5Cleq%20%20c3%$

$mimetex.cgi?%20%7B%200%20%5Cleq%20%20c4%$

المعادلة المطلوبة

$mimetex.cgi?%20%7B(%201+x+x%5E2+.%20.%20$

$mimetex.cgi?%20%7B%20%5Cfrac%7B(1-x%5E%7$

$mimetex.cgi?%20%7B%5B1-%7B4%20%5Cchoose%$

الان نبحث عن مجموع الاسس الذي يساوي 12 فنجده فقط في مكان واحد هو

$mimetex.cgi?%7B%5B%7B%20%7B-4%20%5Cchoos$

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:31

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#232 أبريل 2006 في 06:13

يا رومانوف هناك فرق بين الPermutation و الcombination راجع حساباتك النتيجة التى توصلت إليها صغيرة جداً...

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#242 أبريل 2006 في 21:20

السلام عليكم

لا اعرف ما اقول !!

المسئلة من اسهل مسائل الcombinatoric لا اعرف لماذا لم يحاول غير الاخ كلاشنكوف.

المسئلة لا تحتاج لاستخدام الGenerating Function مجرد عملية permutation عاديى ..

اريد ان ارى محاولات على الاقل قبل ان اواصل الموضوع..

والسلام عليكم

لا إله إلا الله محمد رسول الله

busbar : يجب ان تدرك انه هناك حد ادنى للمعرفة المطلوبة قبل البدء في عمل أي شئ.

#252 أبريل 2006 في 21:54

اقتباس
لديك 48 كرة كل 12 كرة بلون مختلف احمر, ابيض,ازرق و اسود..
تريد ان تضع 12 كرة من هذه الكور فى صف واحد بكم طريقة تستطيع ان ترتبها؟؟ هذا السؤال يمكن حلة بدون الاستعانة بEGF

مضروب 48 فقط !!

اقتباس
بكم طريقة تستطيع ان تضع 12 كرة فى صف واحد بحيث لا تستخدم سوى عدد زوجى من الكور الزرقاء وعدد فردي من الكور السوداء..

تطبخ ,,,,

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Xacker في 3 مارس 2008 في 00:31

NOTHING IS IMPOSSIBLE

مواضيع مشابهة

كيف امنع Generating Script2 رد · 30 ديسمبر 2010
Map the C Run-Time (CRT) Library Functions to .NET Functions0 رد · 9 مايو 2007
how can i do bullets Generating using Vector4 رد · 19 أبريل 2007
Functions0 رد · 7 فبراير 2009
ارجوا مساعدتي في API Functions2 رد · 10 سبتمبر 2006
برنامج لإختصار ال Boolean Functions4 رد · 19 مارس 2007