الفريق العربي للبرمجةأرشيف المنتديات · 2000 – 2023
نسخة أرشيفية للقراءة فقط — التسجيل والمشاركة مغلقان، والمحتوى محفوظ كما كان.

لغز لإثبات مسألة سهلة ممتنعة

بدأه Khaled.Alshaya في 5 أغسطس 2010 · 16 رد · 2,231 مشاهدة · في الرياضيات والخوارزميات
مشاركة: واتساب X فيسبوك تيليجرام
#1 صاحب الموضوع

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته...

بداية, أي شخص يمكن أن يضع حله مباشرة في الموضوع, و لاحاجة للرسائل الخاصة :)

هل تستطيع إثبات التالي...

افتراض أن لدينا خمس نقاط مختلفة في المستوي الثنائي, و جميع تلك النقاط ممثلة بإحداثي سيني صحيح و إحداثي صادي صحيح:

LaTeX
p><p>

أثبت أنه لا بد أن توجد نقطة منتصف Mid Point واحدة على الأقل بين زوج من تلك النقاط, هي الأخرى تكون إحداثياتها صحيحة, بحيث أن الإحداثي السيني و الإحداثي الصادي لنقطة المنتصف تلك ينتميان للأعداد الصحيحة أيضاً. الـ Mid Point لأي نقطتين هي في المستوي الثنائي:

LaTeX
mimetex.cgi?(X_m, Y_m) = ((X_1+X_2) \div

إذا استطعت حل الشق الأول من السؤال, فيمكن حل الشق الثاني بسهولة أيضاً. افترض أنك معطى عدد الأبعاد Dimensions (بعدان كما في الشق الأول) و لنسمي عدد الأبعاد n. هل تستطيع إيجاد العلاقة بين عدد الأبعاد و بين أقل عدد من النقاط الصحيحة المطلوبة لكي نضمن وجود نقطة منتصف واحدة على الأقل هي الأخرى صحيحة بين زوج من تلك النقاط المعطاة في البعد n.

تحياتي...

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Khaled.Alshaya في 5 أغسطس 2010 في 03:54

2
#2

وصلت لحل الشقين ، ولكنى لن أضع الحل لأترك المجال للأخوة.

ولا أظن أن هذه المسألة سهلة ممتنعة ، أظنها سهلة فقط :)

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

bnr025.gif

مـــوقـــعـــى

#3

أهلاً أستاذي,

إن كنت تحب أن تتكرم بإعطاء الأخوة وقتاً إضافياً فلا مانع. إضافة إلى أن كلامي كان موجهاً للطلاب و ليس لأساتذتنا في المنتدى :P

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Khaled.Alshaya في 5 أغسطس 2010 في 04:27

#4
Khaled.Alshaya كتب:

أهلاً أستاذي,

إن كنت تحب أن تتكرم بإعطاء الأخوة وقتاً إضافياً فلا مانع. إضافة إلى كلامي كان موجهاً للطلاب و ليس لأساتذتنا في المنتدى :P

بارك الله فيك وبارك لك ، وشكرا على مجاملاتك وكلامك الرقيق. اتمنى من الله عز وجل أن اكون عند حسن ظنك بى.

سأترك المجال للأخوة للتفكير والإستمتاع بحل المسألة. ويمكنك حذف أو إخفاء هذه المشاركة لو كانت لديك صلاحيات إشرافية ،،،

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

bnr025.gif

مـــوقـــعـــى

#5

توصلت لحل السؤالين :)

MPSI/MP* - CPR Tanger

#6

حللت الشقين :)

تحياتي

حزمة المحرك الإصدارة 0.8

أي أحد يجد أني ظلمته فليراسلني

وبإذن الله لو كان له حق سيأخذه

728x90.png

#7

أهلاً بالأخوة,

يبدو أنه لا داع بعد الآن لحبس الحلول, ضعوها رجاءً و في المرة القادمة سنأتي بسؤال سهل ممتنع حقيقي و ليس مزيف كهذا :lol:

تحياتي...

#8

يمكن حل السؤال الأول بإستعمال عدة طرق، من بينها البرهان بالخُلْف (البرهان بنقض الفرض). سنفترض بأنه لا توجد نقطتان تحققان الشرط المطلوب.

نبدأ بالنقطتين 1 و 2، إحداثياتهما السينية أو الصادية من زوجية مختلفة بالضرورة، سنفترض أن mimetex.cgi?x_1 زوجي و mimetex.cgi?x_2 فردي، طالما أنهما يلعبان دورا تماثليا.

نستمر هكذا بإستعمال إفتراض الخلف، فنجد في النهاية أن إحداثيات أربع نقط هي:

زوجي زوجي

فردي فردي

فردي زوجي

زوجي فردي

سنجد تناقضا مع كل حالة ممكنة لإحداثيتي النقطة الخامسة. إذن الإفتراض خاطئ، ومنه توجد على الأقل نقطتان بحيث تكون إحداثيتا منتصف القطعة المحددة بهما أعدادا صحيحة.

سأدع السؤال الثاني للآخرين.

خالص التقدير،، :)

1

MPSI/MP* - CPR Tanger

#9

أظن أني وجدت الحل للسؤالين منذ البارحة ... لكني غير مقتنع تماماً كيف ... وهل هو إثبات أم هو مجرد "حدس" رياضي

هذه المشكلة دائماً ما تواجهني، أدرك أنه الحل الصحيح لكني لا أجد طريقة متصلة ومتناسقة لإثبات ذلك ...

السؤال الثاني حله n > x^2 تصحيح: n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

إذا أردتم أكتب لكم طريقة إثياتي الفاشل :D

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Speed_Of_Light في 7 أغسطس 2010 في 15:06

#10
Speed_Of_Light كتب:

السؤال الثاني حله n > x^2

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

فى حالة بعد واحد (خط الأعداد الحقيقة) فإن x=1 وعليه باستخدام قانونك يكون اى عدد n>1 من النقاط يصلح ان يحقق المطلوب ، وهذا بالطبع خطأ لانه عندما تكون n=2 يمكننا ايجاد نقطتين احدهما فردى والأخري زوجى وبالتالى والنقطه فى منتصفهما عدد غير صحيح. مثال النقتطين x1=2 و x2=3.

وكذلك فى حالة x=3 فإنه حسب قانونك لابد ان تكون عدد النقاط اكبر من 9 ، وهذا ايضا خطأ ، لأن 9 نقاط تكفى لتضمن انه يوجد على الأقل نقطتين تكون احداثيات نقطة المنتصف بينهما اعداد صحيحة.

الخلاصة: حلك خطأ :P

هذا والله اعلى واعلم ،،،

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

bnr025.gif

مـــوقـــعـــى

#11

لدي إستفسار بسيط ! يوجد شيء ضائع ولا أستطيع فهم المشكلة .. لذلك إعذروني :blush:

إفترض النقطتين بالإحداثيات x,y كالتالي :

LaTeX
p><p>

أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

لم أجد شرط عدم تكرار الإحداثي بين x و y في السؤال , وكلمة نقاط مختلفة تعني أنها ليست مكرة , يعني 3,3 و أخرى 3,3 ؟

banner_60_468.gif

NOTHING IS IMPOSSIBLE

#12

أهلاً هيثم,

اقتباس
أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

من المؤكد أنه قد يوجد نقطة منتصف صحيحة بين نقطتين معينتين. و لكن السؤال يقصد أن خمس نقاط في المستوي الثنائي هي بالفعل كافية لضمان وجود نقطة منتصف صحيحة على الأقل بين زوج من النقاط المعطاة دون حتى معرفة النقاط المعطاة مادمنا نعرف أنها مختلفة.

1
#13

اسمح لى اخى خالد بإعطاء مثال

HGB كتب:

لدي إستفسار بسيط ! يوجد شيء ضائع ولا أستطيع فهم المشكلة .. لذلك إعذروني :blush:

إفترض النقطتين بالإحداثيات x,y كالتالي :

LaTeX
p><p>

أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

لم أجد شرط عدم تكرار الإحداثي بين x و y في السؤال , وكلمة نقاط مختلفة تعني أنها ليست مكرة , يعني 3,3 و أخرى 3,3 ؟

نعم أخى هيثم كلامك مضبوط ، ولكن لو تخيلنا النقطتين هما

LaTeX
p><p>

عندها فلن يكون احداثيات نقطة المنتصف اعداد صحيحة. وبالتالى لا نستطيع ان نجزم انه لأى نقطتين ذات احداثيات صحيحة فى المستوى فإن النقطة فى منتصفهما تكون ايضا ذات الحداثيات صحيحة. والسؤال هنا كم عدد النقاط الذى نستطيع عنده الجزم بأنه بالتأكيد سيكون هناك زوج من هذه النقاط يحقق ان احداثيات نقطة المنتصف صحيحة.

والمطلوب فى السؤال هنا ، هو إثبات أن اقل عدد من النقاط الذى يحقق الشرط السابق هو 5 :)

3

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

bnr025.gif

مـــوقـــعـــى

#14

جميل جدا فهمت الموضوع .. :)

إذن الموضوع بإختصار يجب أن يتكرر نوع الإحداثيات لتضمن وجود نقطة منتصف عدد زوجي صحيح .. وتكرر الإحداثيات المقصود به أن توجد نقطة أخرى إحداثياتها في بعدين أو 3 أو n بعد بحيث تكون بالضبط كنقطة أخرى موجودة , يعني

point1 = زوجي, زوجي, فردي , زوجي , فردي

point7 = زوجي , زوجي , فردي , زوجي , فردي

هنا نقول أن هناك نقطة منتصف صحيحة بالتأكيد ..

ولنحصل على عدد التبديلات الأقصى الذي نضمن فيه كل الإحتمالات الممكنة , نحتاج ل mimetex.cgi?2^n نقطة في n بعد , والنقطة التالية"+1" ستحقق وجود نقطة تحقق نقطة منتصف مع نقطة أخرى إحداثياتها صحيحة ..

بالتالي نحتاج ل

LaTeX
mimetex.cgi?2^n+1

نقطة في n بعد .

3

banner_60_468.gif

NOTHING IS IMPOSSIBLE

#15

حقاً.. المسألة قد تكون سهلة.. و غير ممتنعة..

و لكنها هامة (مسألة حلوة   :) )..

لنحاول المساهمة في إثراء الموضوع..

ما هي علاقة هذه المسألة بمبدأ برج الحمام Pigeonhole principle أو مبدأ ديريتشلت Dirichlet's box principle، و أيضاً بكل من:

مبرهنة سيجيل Siegel's lemma في نظرية الأعداد المتسامية transcendental number theory.

مفارقة الفندق الضخم لديفيد هيلبرت Hilbert's paradox of the Grand Hotel.

مسلمة الإختيار the axiom of choice في نظرية الفئات المسلماتية ZFC.

و غيرهـا..؟

1

[bg=#000000]

La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si pu o intender se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i caratteri ne’ quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche senza i quali mezi e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo

لقد كُتبت الفلسفة في هذا الكتاب العظيم الذي يوجد دائماً أمام أعيننا (و أعني به الكون)، و لكن لا يمكن لأحدٍ أن يفهمه ما لم يتعلم في البدء حروفَ اللغة التي كُتب بها. لقد كُتب بلغة الرياضيات، و الحروف هي مثلثاتٌ و دوائر و أشكالٌ هندسية أخرى؛ بدون هذه اللغة يكون من المستحيل على البشر أن يفهموا و لو كلمة، بدون هذه اللغة نُمسي كمن يتخبطُ بلا هدى في متاهةٍ مظلمة.

جاليليو

[/bg]

Yasser

#16

كان خطأً كتابياً !!

قصدت n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

2
#17
Speed_Of_Light كتب:

كان خطأً كتابياً !!

قصدت n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

نعم أخى الكريم ، توقعت ذلك بعد ان وضعت ردى عليك. بارك الله فيك وبارك لك ،،،

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

bnr025.gif

مـــوقـــعـــى

مواضيع مشابهة