لغز (53) : رقعة الشطرنج ؟

السلام عليكم اخ ماجد 
ان ما خاب ظني المجموع بكون 274 مربع ومستطيل
عدد المربعات = 96 

و عدد المستطيلات = 178

---------------------------------

بالنسبة للمربعات (ضلع * ضلع) :-

عدد المربعات المكونة من 1 * 1  = 64
عدد المربعات المكونة من 2 * 2= 16

عدد المربعات المكونة من 3 * 3 = 7

عدد المربعات المكونة من 4 * 4 = 4

عدد المربعات المكونة من 5 * 5 = 2

عدد المربعات المكونة من 6 * 6 = 1

عدد المربعات المكونة من 7 * 7 = 1

عدد المربعات المكونة من 8 * 8 = 1

ومجموعهم = 96

---------------------------------------------

بالنسبة للمستطيلات (طول * عرض):-

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 2 = 32

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 3 = 21

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 4  = 16

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 5 = 12

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 6 = 10

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 7 = 9

عدد المستطيلات المكونة من 1 * 8 = 8

ومجموعهم = 108

------------------

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 3 = 10

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 4 = 8

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 5 = 6

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 6 = 5

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 7 = 4

عدد المستطيلات المكونة من 2 * 8 = 4

ومجموعهم = 37

----------------

عدد المستطيلات المكونة من 3 * 4 = 5

عدد المستطيلات المكونة من 3 * 5 = 4

عدد المستطيلات المكونة من 3 * 6 = 3

عدد المستطيلات المكونة من 3 * 7 = 3

عدد المستطيلات المكونة من 3 * 8 = 2

ومجموعهم = 17

-----------------

عدد المستطيلات المكونة من 4 * 5 = 3

عدد المستطيلات المكونة من 4 * 6 = 2

عدد المستطيلات المكونة من 4 * 7 = 2

عدد المستطيلات المكونة من 4 * 8 = 2

ومجموعهم = 9

-----------------

عدد المستطيلات المكونة من 5 * 6 = 2

عدد المستطيلات المكونة من 5 * 7 = 1

عدد المستطيلات المكونة من 5 * 8 = 1

ومجموعهم = 4

----------------

عدد المستطيلات المكونة من 6 * 7 = 1

عدد المستطيلات المكونة من 6 * 8 = 1

ومجموعهم = 2

------------------

عدد المستطيلات المكونة من 7 * 8 = 1

------------------------------------------------------------------

طريقة الحل بتقوم على ايجاد عدد المربعات الكونة للشكل الواحد ومن ثم قسمة عدد مربعات لوحة 8 * 8 = 64 على عدد مربعات الشكل المنشود

مثلا :

الشكل : مستطيل ابعاده 3 و 5 عدد المربعات المكونة له = 15 

64 ÷ 15 = 4 (ناتج مقرب لاقل عدد صحيح)

ارجو ان يكون الحل الصحيح

بالتوفيق

عذرا أستاذ لكني أظن أن حلك غير صحيح   بحسب علمي و فهمي للغز

فإن اللغر يقول ما هو عدد الأشكال التي يمكن تكوينها بالرقعة أما حلك يعطينا أكبر عدد للأشكال الذي يمكن تكوينها بالرقعة.

أنت قلت أن عدد المربعات التي أبعادها 1*1 هي 64 و هذا صحيح لكن عدد المربعات التي أبعادها 2*2 ليس 16 و إنما 16 هو أكبر عدد من المربعات التي يمكن تشكيلها

شأشرح لك سيدي:

لو أننا بدئنا بالمربع الأول و رسمنا مربعات متجاورة أبعادها 2*2 فسيون 16 مربع

لكن لو بدئنا بالمربع الثاني و رسمنا نفس المربعات و بشكل متجاور فسيكون عدددها 12 مربع 

الصورة المرفقة توضح فكرتي

و بالمناسبة فكرة أن نقسم 64/مساحة الشكل    لا تصلح إطلاقا لأنها تحسب المساحة و هذا يسمح بأن تكون المساحة مقسومة علي أماكن أي أن الطريقة لا تحدد الشكل

مثلا لو أننا غيرنا أبعاد الرقعة من 8*8 إلي 2*32      مساحة الرقحة هي 64 و مساحة مربع 3*3 هي تسعة علي حسب قولك فإنها تقبل سبع مربعات لأن 64/9= بالتقريب 7   بينما أن الرقعة بأبعاد 2*32 لا تحوي أي مربع بأبعاد 3*3

أرجو أن تكون قد فهمت كلامي

الحل الكامل غير جاهز الآن سأكمل الحل و أضيفه لكم

تقبل مروري

العفو
ولكن سؤالي لماذا نبدأ بالمربع الثاني على سبيل المثال؟؟
 

لأن السؤال يقول ماهو عدد المربعات التبي يمكن تشيكلها و المربع بأبعاد 2*2 مثلا و يبدأ من المربع الأول ليس نفسه المربع 2*2 الذي يبدأ من المربع الثاني

أنا لا أقول بأن الحل هو 12 و ليس 16 و إنما أقول أن الحل هو مجموع الحلول أي 16+12+12+9=49   لأنه كما قلت ليس نفس المربع و لهذا سيعد مربعا آخر

و بالمناسبة لقد عدلت مشاركتي الأولي بعد أن لاحضت خطأ في حلك بخصوص قسمة مساحة الرقعة علي مساحة الشكل أرجو أن تنظر لمشاركتي من فضلك

شكرا لك 
الان وصلت 

هل أفهم من كلامك هذا أنك فهمت ما أرمي إليه

المهم أخي يمكننا إيجاد صيغة رياضية تمكننا من حساب عدد الأشكال أرجو أن تفكر فيها

منتضر جديدك

المسألة متعلقة بالاحتمالات ومن ثم ايجاد آلية تقوم بمسح - أي المرور - على كل مربع ومن ثم ايجاد الاحتمالات المختلفة للتشكيلات التي يمكن تشكيلها انطلاقا من هذا المربع

على أن نحرص أن نقصي التكرارات التي تتشكل أثنا الوصول إلى مربع مع مربع سبق مسحه

كمثال لو بدأنا من المربع الأول أ1 فيكون لدينا مستطيلين 1*2 و مريع 2*2 يمكن تشكيلهما من المربع مع المحيط الأول

و مستطيلين 1*3 و مستطيلين 2*3  و مربع 3*3 من المربع مع المحيطين الأول والثاني وهكذا حتى نصل للمحيط الأخير أي كامل الرقعة فنحصل على :

مستطيلين 1*8

و مستطيلين 2*8

و مستطيلين 3*8

و مستطيلين 4*8

و مستطيلين 5*8

و مستطيلين 6*8

و مستطيلين 7*8

ومربع 8*8

هذا من أجل التشكيلات التي انطلقنا منها من المربع الأول

والآن إذا انتقلنا للثاني فالعملية ستتكرر مع الآخذ بعين الاعتبار استثناء التشكيلات المرتبطة بالمربع الأول لأننا مررنا عليها

وبهذه الطريقة نتوصل إلى الاحتمالات المختلفة

بقي أن نترجم هذا الأمر إلى خوارزمية

:blush:

أري أن نقوم بمسح مواضع لشكل معين ثم ننتقل لشكل آخر حتي لا تتعقد الأمور.

أقضد أن نمسح كل المربعات 1*1 و هي 64 و بالتالي فأي مربع 1*1 سنجده فيما بعد فهو ضمن ال64

و كذلاك بالنسبة ل المربع 2*2 و لباقي الأشكال أما فكرة أن ندرس عدة أشكال في وقت واحد أمر معقد

لكن لابأس ما ٍأيك بأن تعد الأشكال بهذه بطريقتك و أنا بطريقتي و نري إن كانت النتائج نفسها

تحياتي

و أخير وفقت بصنع برنامج بعد أن وجدت العلاقة الرياضية.

المهم كما قلت طريقتي تمكن في إحصاء المواضع التي قد يشغلها الشكل كما وضحت سابقا بالشرح المصور حيث أن مربع 1*1 له موضع واحد و مربع 2*2 له أربع مواضع و هكذا.

و من ثمة حساب عدد الأشكال مع كل موضع و جمع جميع احتمالات المواضع و نفعل هذا مع جميع الأشكال..

المهم أنا تحصلت علي النتيجة التالية

البعد         عدد الأشكال في جميع المواضع

1*1                             64

1*2                             56

1*3                             48

1*4                             40

1*5                             32

1*6                             24

1*7                             16

1*8                             8

2*1                             56

2*2                             49

2*3                             42

2*4                             35

2*5                             28

2*6                             21

2*7                             14

2*8                             7

3*1                             48

3*2                             42

3*3                             36

3*4                             30

3*5                             24

3*6                             18

3*7                             12

3*8                             6

4*1                             40

4*2                             35

4*3                             30

4*4                             25

4*5                             20

4*6                             15

4*7                             10

4*8                             5

5*1                             32

5*2                             28

5*3                             24

5*4                             20

5*5                             16

5*6                             12

5*7                             8

5*8                             4

6*1                             24

6*2                             21

6*3                             18

6*4                             15

6*5                             12

6*6                             9

6*7                             6

6*8                             3

7*1                             16

7*2                             14

7*3                             12

7*4                             10

7*5                             8

7*6                             6

7*7                             4

7*8                             2

8*1                             8

8*2                             7

8*3                             6

8*4                             5

8*5                             4

8*6                             3

8*7                             2

8*8                             1

.

و المجموع العام هو           1296

و هناك قانون استنتجته من كتابة النتائج يمكننا من حساب عدد جميع الأشكال مباشرة.

أرجو أن أكون قد وفقت و أنا في انتضار تعاليقكم على الحل.

حقيقي . . لم اتوقع كم هذه المناقشات في هذا الوقت القصير نسبياً . . وكلها عبقرية . .

وسعدت جدا بظهور مشاركات ذكية من اصدقاء اعتز بصداقتهم . . وهو صديقي العزيز أبو أحمد المبرمج . .

واصدقائي الجدد eng.ahmadshalabi و kenham . .

  وفي انتظار رأيكم انا ايضا في الحل الذي قدمة اخي kenham  . . هل هو صحيح ؟ ؟ واطالبه بطرح القانون الذي استنتجه والذي يمكنه من حساب جميع الاشكال مباشرة إذا سمح بذلك وتفضل . .

تحياتي للجميع . .

القانون الذي استنتجته ليس فقط صالح لرقعة بأبعاد 8*8 و إنما أي رقعة كانت شرط أن تكون الرقعة ذات شكل منتظم أي (مربع أو مستتطيل)  و القانون يمكن من حساب جميع الأشكال المنتظمة التي يمكن رسمها داخل هذه الرقعة المنتظمة

لكني لن أضع القانون الآن فأنا لا أريد إفساد اللغز أريد أن يفكر الأعضاء في الحل و يفكرو في القانون الذي ذكرته

يسعدني مصادقته يا ماجد الأسيوطي و يسعدني التواجد مع محبي الألغاز البرمجية

قد يضن البعض أن الألغاز البرمجية مجرد تسلية لكنهم مخطئين فهذه الألغاز تمكننا من استنتاج قوانين في الإحتمالات و الرياضيات و هذا ما يسمي بال modeling

و هذا الأخير يتمثل في تحويل المشاكل علي شكل معادلات رياضية و هذا مهم جدا.

و أود تسليط الضوء علي لغز قد وضعته بهذا القسم لكن لم  أتلقى أي رددو :  لغر الأرقام المتقاطعة

تقبلو تحياتي

kenham كتب:

ا

قد يضن البعض أن الألغاز البرمجية مجرد تسلية لكنهم مخطئين فهذه الألغاز تمكننا من استنتاج قوانين في الإحتمالات و الرياضيات و هذا ما يسمي بال modeling

و هذا الأخير يتمثل في تحويل المشاكل علي شكل معادلات رياضية و هذا مهم جدا.

أتفق معك تماما اخي kenham . . وهذا هو الهدف من طرحها . . مشاطرة الأفكار والحلول بين أصدقاء المنتدي . .

kenham كتب:

 

 

يسعدني مصادقته يا ماجد الأسيوطي و يسعدني التواجد مع محبي الألغاز البرمجية

 

ونحن أيضا يسعدنا صداقتك ومشاركتك معنا . .

أشكرك أخي ماجد على الإطراء ولي الشرف بصداقتك

بعد تطبيق طريقتي يدويا وصلت إلى نفس النتيجة التي وصل إليها الأخ kenham  وهي 1296

مما يرجح أنها الجواب الصحيح

وبقي أن نترجمها إلى قانون

كما قلت القانون ىعندي و سبق أن وجدته و هو صالح مهما كانت أبعاد الرقعة

لكن حتي لا نفسد اللغز و حتي نترك لباقي الأعضاء الكرام فرصة لحله.

و أرجو منك أن تخبرنا بطريقتك اليدوية في الحل

وصلت إلى القانون من أجل رقعة مربعة أبعادها N*N

والطريقة هي طريقة المسح التي ذكرتها في ردي الأول

والقانون تم استنتاجه بالملاحظة

حيث أنني طبقت طريقة المسح باستخدام ملف إكسل وبالنظر إلى المجاميع قمت باستخلاص المعادلات إلى أن وصلت إلى القانون المختصر

كما يمكن مع بعض التعديل جعل القانون يصلح لأي رقعة مستطيلة أبعادها N*M

وسنحتفظ بالقانون لحين يسمح لنا الأخ ماجد بنشره

بعد عمل عدة تجارب ظهرت لدي ثغرة وبعد تطبيق سدها على القانون حصلت على النتيجة 1168

وسأحاول التأكد أيهما الأصح

بالفعل كانت طرق تفكيركم رائعة ايها الاخوة
واني سعيد بصداقتكم 

أبو أحمد المبرمج كتب:

بعد عمل عدة تجارب ظهرت لدي ثغرة وبعد تطبيق سدها على القانون حصلت على النتيجة 1168

وسأحاول التأكد أيهما الأصح

بعد إعادة التمحيص ظهر أن الحل الصحيح 1296

ومن أجل البرهان على صحة القانون

سينتج لدينا من اجل رقعة 4*4  100 تشكيل

ومن أجل 10*10 3025 تشكيل

وبإمكان الأخ كينهام وضع حلين من أجل رقعتين مختلفتين

وكذلك أي أخ يستنتج قانون أن يضع حلول أخرى ليتأكد الآخرون من الحل دون كشف حلولهم

وليساعد البعض على الاستنتاج بشكل أيسر

تم التوصل إلى قانون التشكيلات من أجل أي رقعة مستطيلة أبعادها N*M

فمثلا من أجل رقعة 9*5 يكون لدينا 675 احتمال

للعلم القوانين بسيطة جدا وهي مشتقة من متوالية شهيرة والتي تختصر بقانون بسيط

يبدو أن الوقت قد حان لوضع القانون قبل أن ينسي الأعضاء هذا اللغز نهائيا.

القانون الذي يعطينا عدد الأشكال المنتظمة في رقعة شطرنج(8*8) هو  

∑(n=1 a 8)[∑(p=1 a 8) [p*n]]

حل صحيح أخي kenham 

العدد بالفعل هو 1296 . .

وشكرا علي مشاركة أصدقاءك لطريقة الحل  . . وأنتظر من أخي أبو أحمد المبرمج مشاركتنا وعرض طريقة حل اللغز . .

تحياتي للجميع . .

بارك الله بكم إخواني

نعم الحل يعتمد على متوالية جمع الأعداد المتزايدة

ولكن لها اختصار

حيث معروف أن مجموع الأعداد من واحد إلى N  هو ناتج ضربه بما يليه مقسوما على 2

أي مجموع الأعداد من 1 إلى 10 هو (10*11)/2 أي 110/2 = 55

وعليه فإن أي مجموعة سيكون

(N(N+1))/2

و من خلال الملاحظة والاستنتاج خلصت أن عدد التشكيلات الناتج لسطر واحد هو مجموع الأعداد من واحد إلى عدد مربعات السطر

وفي حال كان لدينا رقعة بعدد من الأسطر فيكون عدد التشكيلات هو مجموع المجاميع

وبالتالي لو لدينا رقعة عدد أعمدتها N

و عدد أسطرها M

فسيكون لدينا عدد التشكيلات هو

S = (((N*(N+1))/2)*(((M*(M+1))/2)

طبعا في حال كان الرقعة مربعة سيكون القانون

S = (((N*(N+1))/2)^2)

أي مربع المجموع

وعليه لو عوضنا 8 بدل N  سنحصل على 1296

مرفق ملف الإكسل الذي عملته لاستقراء النتائج

تشكيلات الشطرنج.xlsx

اقتباس

S = (((N*(N+1))/2)^2)

هذا هو القانون الذي استعملته في المرة الأولي ثم استنجت القانون الذي ذكرته أنا فوق. أحببت أن أظيف مجموعة قوانين أخرى :

و قد برمجت برنامج صغير بلغة باسكال لحساب عدد المرباعات و المستطيلات و الأشكال المنتظمة(مربعات + مستطيلات) في رقعة منتظمة (مربعة أو مستطيلة)

∑(n=1 a l)[∑(p=1 a m) [p*n]] لحساب مجموع الأشكال المنتظمة في رقعة منتظمة 

∑ [∑(p=1 a m) [p^2]] لحساب مجموع المربعات في رقعة منتظمة حيث m هو العرض أي البعد الأصغر بين البعدين

∑(n=1 a l)[∑(p=1 a m) [p*n]]- (∑ [∑(p=1 a m) [p^2]]) لحساب مجموع المستطيلات في رقعة منتظمة

pascal.rar

وانا ايضا كشفت قانون لمعرفة عدد الدوائر الموجودة داخل دائرة كبيرة مع وضع بلحسبان الفراغ الموجود بين الدوائر الصغيرة
فمثلا كم من الدوائر قطرها متر واحد ممكن ان توضع في دائرة قطرها كيلومتر؟ تحياتي لمن يعرف

ويا اخي ماجد اعذرني على اللغيبة